Alexander Swoboda wurde in Dubossary, Moldawien, geboren, absolvierte sein Schauspielstudium an der Westfälischen Schauspielschule Bochum und spielte währenddessen dort in verschiedenen Produktionen. Erste Engagements nach dem Studium führten ihn von 2002 bis 2005 an das Theater Linz und von 2006 bis 2008 an das Theater Bielefeld. Seit der Spielzeit 10/11 ist er fest am Theater Bremen engagiert. 2016 wurde er gemeinsam mit Nadine Geyersbach mit dem Kurt-Hübner-Preis ausgezeichnet. Er spielte u. a. in Alize Zandwijks „Der gute Mensch von Sezuan“, „Die Ratten“ und „Der Schimmelreiter“, Nina Mattenklotz’ „Ännie“, Theresa Welges „Nationalstraße“, Alexander Riemenschneiders „Das Schloss“ und „Amerika“ sowie in den spartenübergreifenden Familienkonzerten „Moni, die Möwe“. In den vergangenen Spielzeiten stand er u. a. in Felix Rothenhäuslers Inszenierung der Uraufführung von Jan Eichbergs „The End. Eine Replikantenoper“, Alexander Riemenschneiders „Jugend ohne Gott“ von Ödön von Horváth und Schorsch Kameruns „King Arthur – Teil 1“ auf der Bühne. Zuletzt war er in „Ronja Räubertochter“, „Kasimir und Karoline“, „Franziska“, „Die Dreigroschenoper“, „Verfall. Ein Picknick im Grünen“, Dušan David Parízeks „Drei Schwestern“, Armin Petras‘ „Leben und Schicksal“ und „Die Erfindung des Jazz im Donbass“ sowie in Nina Mattenklotz‘ „Der Russe ist einer, der Birken liebt“ und Alize Zandwijks „Schöne Bescherungen“ zu sehen.